Algunas notas sobre filosofía matemática

 

Francisco Díaz Montilla

A. Partamos de la siguiente distinción. La filosofía de la matemática es la disciplina que reflexiona sobre problemas filosóficos que surgen en la matemática. ¿La infinitud de los números se entiende como potencialidad o como actualidad?, ¿cómo se relaciona la matemática con el mundo?, ¿qué tipo de existencia tienen los objetos matemáticos?, ¿alcanza el falibilismo al conocimiento matemático?, entre múltiples otras cuestiones problemáticas. Podrá parecer que este tipo de preguntas no tienen sentido -o constituyen, como muchas preguntas filosóficas, una auténtica pérdida de tiempo- sin embargo, han sido iluminadoras en muchos aspectos, incidiendo las respuestas ofrecidas en cómo se concibe y practica la disciplina. Por ejemplo, la discusión sobre el infinito ha incidido en el desarrollo de metodologías constructivas y finitistas basadas en la idea de que el infinito matemático actual es insostenible, poniendo entre paréntesis algunas tesis tradicionalmente aceptadas: rechazo del principio de tercero excluido en lógica, cuestionamiento al axioma de elección y -en general- rechazo a toda formulación matemática que no sea expresión de una construcción.

Por su parte, la filosofía matemática se refiere a una manera de hacer filosofía. Posiblemente se trata de algo más metafilosófico que algo propiamente filosófico, es decir, tendría que ver con una cuestión adjetiva (de procedimiento) más que sustantiva (de contenido). Es hacer filosofía empleando técnicas de razonamiento y argumentación matemática, lo cual supone dejar a un lado las formas tradicionales de argumentar filosóficamente.

B. La denominación «filosofía matemática» evoca otras denominaciones disciplinares existentes, por ejemplo, la física-matemática, que -de acuerdo con el Journal of Mathematics of Physics- es «la aplicación de las matemáticas a problemas del ámbito de la física y el desarrollo de métodos matemáticos apropiados para estos usos y para el desarrollo de conocimientos físicos», y comprende -para tal propósito- una amplia gama de conceptos, teorías y métodos matemáticos, desde topología, álgebra lineal y geometría, pasando por ecuaciones diferenciales ordinarias, transformaciones de Fourier hasta derivadas parciales, ecuaciones elípticas, ecuaciones simétrico hiperbólicas, ecuaciones parabólicas y grupos, entre otros. O bien la lingüística-matemática la cual, según S. Marcus, E. Nicolau y S. Sati (Introducción en la lingüística matemática) «estudia los fenómenos de lengua mediante procedimientos matemáticos», para dar forma a una amplia gama de conceptos fundamentales desde el punto de vista de la lingüística teórica (y aplicada): configuraciones, relaciones subordinadas, jerarquía de Chomsky, y un inmenso etcétera. Y -desde luego- la lógica-matemática, que es el estudio de la lógica formal dentro de la matemática, la cual -según el Handbook of Mathematical Logic - comprende teoría de modelos, teoría de pruebas, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La filosofía matemática de manera similar tendría que ver con el tratamiento de problemas filosóficos aplicando métodos matemáticos, y -también- con las relaciones conceptuales que hay entre filosofía y matemática.

C. Uno de los lugares comunes más comunes es que la filosofía es la madre de todas las ciencias. Con ello, los no-filósofos suelen mostrar una condescendencia hacia una disciplina -la filosofía- que no necesariamente es de su interés, posiblemente como una forma de manifestar una postura políticamente correcta, sobre todo en espacios deliberativos donde se requiere evidenciar cierto nivel de cultura: renegar de la filosofía podría considerarse un acto de temeraria ignorancia. Es también una muletilla que -con frecuencia- repiten los docentes, posiblemente como una forma de autojustificar la razón por la cual se enseña filosofía, cuando -tal vez- ese espacio podría dedicarse a otra cosa.

Visto históricamente, la filosofía debe más a la matemática que al revés. No deja de ser una curiosidad la exigencia platónica para entrar a la Academia y el rol que los objetos geométricos tienen en la cosmología desarrollada en Timeo; tampoco deja de ser una curiosidad el rol que -antes de Platón- le diera Pitágoras a los números en su cosmovisión filosófica. Asimismo, conceptos como «justicia conmutativa», «justicia distributiva» y «justo medio», tan básicos en la filosofía moral (política) de Aristóteles son de claro cuño matemático. Ya en la modernidad, el gran Spinoza nos lega la que -posiblemente- sea la obra que mejor ilustra el impacto de la matemática (método geométrico) en la filosofía: La ética demostrada según el orden geométrico. Sin pasar por alto, la centralidad de las matemáticas en las obras de Descartes, de Leibniz y de Newton.

Sí, hay una suerte de complicidad histórica entre matemática y filosofía, pero en esa relación, ha sido la filosofía la que más provecho ha obtenido.

D. Posiblemente, hoy la expresión «filosofía matemática» tenga un sentido distinto al expresado por Russell en su célebre Introduction to Mathematical Philosophy (un clásico sobre la relación filosofía-matemáticas). Señala Russell lo siguiente: «Mathematics is a study which, when we start from its most familiar portions, may be pursued in either of two opposite directions. The more familiar direction is constructive, towards gradually increasing complexity: from integers to fractions, real numbers, complex numbers; from addition and multiplication to differentiation and integration, and on to higher mathematics. The other direction, which is less familiar, proceeds, by analysing, to greater and greater abstractness and logical simplicity; instead of asking what can be defined and deduced from what is assumed to begin with, we ask instead what more general ideas and principles can be found, in terms of which what was our starting-point can be defined or deduced. It is the fact of pursuing this opposite direction that characterises mathematical philosophy as opposed to ordinary mathematics. But it should be understood that the distinction is one, not in the subject matter, but in the state of mind of the investigator».

Pero como he dicho, se trata de una forma de «hacer» filosofía, no de hacer matemáticas, he ahí la diferencia. 

La filosofía matemática requiere básicamente posicionarse en las estructuras matemáticas construidas y elaboradas, v.g., teoría de conjuntos, lógica, teoría de grupos, álgebra universal, topología, teoría de las categorías, teorías de las probabilidades, entre otras para tratar cuestiones de naturaleza filosófica, ya sea de tipo metafísico (ontológico), epistemológico, de racionalidad práctica, etc.; pero para ello, se requiere que el filósofo se adentre en esas profundas aguas. 

Esos métodos tal vez sean más fiables que los tradicionales «métodos filosóficos», que suelen ser más bien expresión de las singulares convicciones personales del filósofo, y -que fuera de ese ámbito- tienen muy poca utilidad. 

El barniz matemático en filosofía permite tratar de manera mucho más rigurosa los problemas filosóficos y evaluarlos críticamente con fundamentos más estables y sólidos.

E. Podría decirse, por otro lado, que la filosofía matemática es formal, aboga por un lenguaje transparente y preciso. En ese sentido, la colección de textos de Richard Montague publicados bajo el rótulo Formal Philosophy, así como el manual Introduction to Formal Philosophy, editado por Sven Ove Hansson y Vincent F. Hendricks ofrece una perspectiva global de cómo abordar cuestiones filosóficas desde estas coordenadas; sin olvidar -desde luego- que en el siglo XX se dieron importantes formulaciones teóricas para tratar algunos problemas fundamentales, v.g., el desarrollo de la concepción semántica de la verdad por Alfred Tarski, los teoremas de limitación de Gödel, el desarrollo de los marcos kripkeanos para hacer operativo el concepto de mundos posibles y todas sus aplicaciones, o la construcción de sistemas formales para el tratamiento de cuestiones éticas, etc.

Hay, pues, detrás de la filosofía matemática una historia que no puede minimizarse y se proyecta a futuro de manera optimista. Justamente, dada la rigurosidad que entraña, la filosofía matemática permite generar condiciones de diálogo con disciplinas como las ciencias cognitivas, la inteligencia artificial, las neurociencias, las ciencias de la computación, entre otras.

Prestigiosos centros de investigación se enfocan en llevar a cabo investigaciones en esa dirección. Por ejemplo, el Munich Center for Mathematical Philosophy adscrito a la Ludwig-Maximilians Universität ha concebido una ambiciosa estructura de investigación que comprende teoría de la decisión y filosofía de la ciencia social, epistemología, lógica, filosofía de la inteligencia artificial, filosofía del lenguaje, filosofía de la matemática, filosofía de la física y filosofía de la ciencia; y presenta en su sitio web (https://www.mcmp.philosophie.uni-muenchen.de/students/math/index.html) una valiosa colección de textos sobre lógica, teoría de conjuntos, teoría de modelos, lógica modal, métodos formales, epistemología formal, entre otros.

La filosofía matemática, en ese sentido, reivindica una visión de la filosofía que va de la mano del conocimiento científico, que se nutre de él y lo enriquece como posiblemente no lo haga ninguna de las orientaciones filosóficas actualmente en boga.  

 

 

 

 

 

 

 

Ideas generales sobre lógica infinitaria

 Francisco Díaz Montilla

0.

La lógica infinitaria o, tal vez más apropiadamente, lógicas infinitarias son extensiones de la lógica de primer orden (LPO) con una mayor capacidad expresiva (algunas de ellas son en realidad lógica de segundo orden), lo cual permite formular expresiones que no pueden expresarse en LPO.

Para caracterizar una lógica infinitaria partamos de una definición y propiedades básicas de un lenguaje infinitario de la manera siguiente (Bell, 2016): 

Dado un par κ, λ de cardinales infinitos tales que λ ≤ κ, se define una clase de lenguajes infinitos en los que se pueden formar conjunciones y disyunciones de conjuntos de fórmulas de cardinalidad <κ, y cuantificaciones sobre secuencias de variables de longitud <λ.

Sea L -el lenguaje base finitario- un arbitrario pero fijo LPO con un número cualquiera de símbolos extralógicos. El lenguaje infinitario L(κ, λ) tiene los siguientes símbolos básicos: 

(i) Todos los símbolos de L.

(ii) Un conjunto Var de variables individuales, donde la cardinalidad de Var (denotada por: |Var|) es κ.

(iii) Un operador lógico ∧ (conjunción infinitaria).

La clase de prefórmulas de L(κ, λ) se define recursivamente de la manera siguiente:

(i) Cada formula de L es una prefórmula;

(ii) Si φ y ψ son prefórmulas, también lo son φ ∧ ψ y ¬φ;

(iii) Si Φ es un conjunto de prefórmulas tal que |Φ| < κ, entonces ∧Φ es una prefórmula;

(iv) Si φ es una prefórmula y X ⊆ Var es tal que |X| < λ, entonces ∃Xφ es una prefórmula;

(v) Toda prefórmula se define de acuerdo con las cláusulas anteriores.

Es importante considerar algunas convenciones. Si Φ es un conjunto de prefórmulas indexadas por un conjunto I, v.g., Φ = {φi : i ∈ I}, entonces denotamos ∧Φ mediante:

∧i ∈ I φ

O, suponiendo que I es el conjunto de números naturales, se escribe ∧Φ por:

φ0 ∧ φ1 ∧ …

Si X es un conjunto de variables de individuo indexadas por un ordinal α, digamos X = {xξ : ξ < α}, escribimos (∃xξ)ξ<αφ para ∃Xφ.

Los operadores lógicos ∨, →, ↔ se definen como habitualmente se hace. Se introduce el operador ∨ (disyunción infinitaria) y ∀ (cuantificador universal) mediante:

∨Φ =df ¬∧{ ¬φ : φ ∈ Φ}

∀Xφ =df ¬∃X¬φ,

Se puede emplear convenciones similares para ∧, ∃.

Resulta entonces que L(κ, λ) es el lenguaje infinitario obtenido desde L permitiendo conjunciones y disyunciones de longitud <κ y cuantificaciones de longitud menores que  < λ. Los lenguajes L(κ, ω) son llamados lenguajes de cuantificadores finitos, mientras que el resto son lenguajes con cuantificadores infinitos. En particular, L(ω, ω) es justamente L.

Una fórmula de L(κ, λ) es una prefórmula que contiene variables libres < λ. El conjunto de todas las fórmulas de L(κ, λ) se denota mediante Form(L(κ, λ)) -o simplemente Form(κ, λ)- y el conjunto de todos los enunciados mediante Sent(L(κ, λ)) -o simplemente Sent(κ, λ).

La semántica de L(κ, λ) se puede describir de la siguiente manera. Sea A una L-estructura, una fórmula de L(κ, λ) es satisfecha en A del mismo modo en que lo es en L, aunque ahora se agregan las siguientes cláusulas:

(1) ∧Φ es satisfecha en A (por una secuencia dada) sii para cada φ ∈ Φ, φ es satisfecha en A (por la secuencia);

(2) ∃Xφ es satisfecha en A sii existe una secuencia de elementos desde el dominio A en correspondencia biyectiva con X que satisface φ en A.

Finalmente, si A es un L-estructura y σ ∈ Sent(κ, λ), denotamos A es un modelo de σ con  A ╞ σ, y si σ es válida, es decir para toda A,  A ╞ σ, lo denotamos con ╞ σ. Si Δ ⊆ Sent(κ, λ), se escribe Δ ╞ σ para σ es una consecuencia lógica de Δ, es decir, cada modelo de Δ es un modelo de σ. 

Pero, ¿a qué apunta todo esto?

1.

Con frecuencia matemáticamente hablando, nos encontramos con conceptos que no pueden ser expresados en LPO y que -sin embargo- son centrales en la práctica matemática. Tal es el caso de la caracterización del modelo estándar de la aritmética, la caracterización de la clase de todos los conjuntos finitos o el concepto de buen orden. 

El modelo estándar de la aritmética, por ejemplo, puede plantearse en L(ω1, ω) de la siguiente manera (Bell, 2016): el modelo estándar de la aritmética es la estructura N = ⟨N, +, ·, s, 0⟩, donde N es el conjunto de números naturales, +, ·, y 0 tienen sus significados habituales, y s es la operación sucesor. Si L es una estructura de LPO apropiada para N, entonces la clase de L-estructuras isomórficas a N coinciden con la clase de modelos de la conjunción de los siguientes L(ω1, ω) enunciados (donde 0 es un nombre de 0):

∧m∈ω ∧n∈ω sm0 + sn0 = sm+n0

∧m∈ω ∧n∈ω sm0 · sn0 = sm·n0

∧m ∈ ω ∧n ∈ ω−{m} sm0 ≠ sn0

∀xm ∈ ω x = sm0

Los términos snx se definen recursivamente:

s0x = x

sn+1x = s(snx)

En cambio, la clase de todos los conjuntos finitos en L(ω1, ω) se aborda de la siguiente manera (Bell, 2016): El lenguaje base no tiene símbolos extralógicos. La clase de todos los conjuntos finitos coincide, entonces, con la clase de modelos del L(ω1, ω) enunciado:

∨n ∈ ω ∃v0 … ∃vn∀x (x = v0 ∨ … ∨ x = vn).

Finalmente, con respecto a la caracterización del buen orden en L(ω1, ω1), el lenguaje base L incluye el símbolo de predicado binario ≤. Sea σ1 los L-enunciados que caracterizan el orden lineal (reflexividad, antisimetría, transitividad, totalidad). Entonces la clase de las L-estructuras en las que la interpretación de ≤  es un buen orden coincide con la clase de modelos del L(ω1, ω1) enunciado σ = σ1 ∧ σ2, donde:

σ2 =df (∀vn)n∈ω ∃x [∨n∈ω (x = vn) ∧ ∧n ∈ω (x ≤ vn)].

Como se nota, el enunciado σ2 contiene cuantificadores infinitos, que expresa la aserción esencial en lógica de segundo orden (LSO) según la cual cada subjconjunto contable tiene un miembro mínimo. 

Bajo el supuesto de que estos problemas se resuelvan racionalmente de manera positiva, ¿cuál es entonces el problema?

2.

Entre las propiedades de la lógica de primer orden (LPO) están: (i) la compacidad numerable y (ii) Lowenheim-Skolem. 

De acuerdo con el teorema de compacidad , siendo L un lenguaje de primer orden y T un conjunto de enunciados de L, si todos los subconjuntos finitos de T tienen modelos, entonces T tiene un modelo (Torres Falcón, 2002), o de manera equivalente (teorema de finitud): Sea una fórmula L una consecuencia lógica de un conjunto T de fórmulas de L, existe un subconjunto finito S de T tal que la fórmula es consecuencia de S. 

Las consecuencias prácticas de este teorema son realmente valiosas, pues expresa algo muy deseable desde el punto de vista lógico: «que los argumentos son esencialmente finitos y, si existiera un argumento correcto con un conjunto infinito de premisas, el teorema de compacidad asegura que dentro de ese conjunto se puede escoger un conjunto finito de premisas que garantiza la conclusión» (Torres Falcón, 2002, p. 253).

Otras importantes aplicaciones del teorema están relacionadas con la construcción de modelos, pues “basta verificar que cada subconjunto finito de un conjunto dado de enunciados tiene un modelo para poder garantizar la existencia de un modelo de todo el conjunto” y para la demostración de consistencia de teorías con conjuntos infinitos de axiomas, pues “en virtud de los teoremas de completud y corrección para la lógica de primer orden, para verificar que de un conjunto infinito de axiomas no se puede deducir contradicciones, basta comprobar que cada subconjunto finito de axiomas tiene modelos” (Torres Falcón, 2002, p. 253).

Sin embargo, de acuerdo con el teorema se puede demostrar que la clase de todos los conjuntos finitos no es elemental, es decir que no existe ningún conjunto de enunciados en ningún lenguaje de primer orden tal que sus modelos sean precisamente los conjuntos finitos. 

La demostración es la siguiente (Torres Falcón, 2002): Sea L  un lenguaje de primer orden y T   un subconjunto de  de L  cuyos modelos son precisamente los conjuntos finitos. Si se agrega  a T   el conjunto de enunciados {σ(n) = 1, 2, 3…} se obtiene un nuevo conjunto T*. Si S es un subconjunto finito de T*, entonces S tiene un modelo, pues al ser finito, sólo aparece en S un conjunto finito de los enunciados que fueron agregados. Por lo que hay un número máximo n que aparece en ellos y cualquier conjunto finito con más elementos de n será modelo de S, entonces todo subconjunto finito de T* tiene modelo. Luego, por teorema de compacidad, T* tiene modelo. Pero ese modelo debe ser infinito y además debe ser modelo de T, lo cual contradice la hipótesis de que los modelos de T  son precisamente los conjuntos finitos. 

De acuerdo con la segunda, si T tiene un modelo infinito, entonces T tiene modelos de cualquier cardinalidad. El teorema se enuncia en dos partes, una ascendente que garantiza la existencia de modelos de cardinales de infinitos grandes, y otras descendente, que garantiza la existencia de modelos de la cardinalidad del lenguaje.

Por su parte, el teorema de Lowenheim-Skolem implica que no existe un conjunto S tal que K = Mod(S). 

Ambos teoremas pueden interpretarse como teoremas limitativos (Torres Falcón, 2002). No obstante, hemos visto que -por ejemplo- la idea de finitud que no puede expresarse mediante LPO puede ser expresada mediante L(ω1, ω1), sin embargo al ser esta una LSO, arrastra sus limitaciones metateóricas, v.g., la propiedad de incompletitud.

Tanto el teorema de compacidad como el de Lowenheim-Skolem son resultados fundamentales para la lógica de primer orden y -obviamente- para cualquier teoría de primer orden que pueda expresarse en ella. De hecho, Lindström (Lindström, 1969) ha demostrado que LPO es la única que dispone simultáneamente de ambos teoremas. Lo cual nos lleva al siguiente dilema: elegir la relativa simplicidad de LPO, manteniendo dichos teoremas y sacrificando expresividad; o elegir la relativa complejidad de algún sistema de lógica infinitaria, renunciando a dichos teoremas y ganando mayor expresividad. 

Referencias

Bell, J. L., 2016. "Infinitary Logic", The Stanford Encuclopedia of Philosophy. [Online] 

Available at: https://plato.stanford.edu/cgi-bin/encyclopedia/archinfo.cgi?entry=logic-infinitary

[Accessed 19 junio 2021].

Lindström, P., 1969. On Extensions of Elementary Logic. Theoria, Issue 35, pp. 1-11.

Torres Falcón, Y., 2002. Teoremas limitativos de la lógica clásica de primer orden. Signos Filosóficos, Issue 7, pp. 245-262.

Inferencia lógica

Francisco Díaz Montilla

Dado que la lógica deductiva trata fundamentalmente la relación de consecuencia lógica, es necesario armarse de un conjunto de reglas que permitan realizar esa tarea. Por regla de inferencia se entiende (Conradie & Goranko, 2015, p. 105):

 

un esquema

 

P₁,…,P_n

C

 

Donde P₁,…,P_n, C son fórmulas proposicionales. Las fórmulas P₁,…,P_n  se llaman premisas de la regla de inferencia y C su conclusión.

 

Posiblemente, la más conocida regla de inferencia sea la de eliminación de la implicación o modus ponens; la cual indica que dada una implicación p ® q, si ocurre que p, se sigue que es el caso que q. Formalmente:

p ® q, p

q

 

Consideremos el siguiente ejemplo:

 

Si Biden obtiene 270 votos del colegio electoral, será el 46 presidente de USA.

Biden obtiene 270 votos del colegio electoral.

Biden será el 46 presidente de USA.

 

Como estamos ante una instancia de la regla de modus ponens, se sigue que la inferencia realizada es correcta.

 

La regla en cuestión es indiferente a la verdad, es decir, hay instancias falsas que son igualmente válidas.

 

Veamos:

 

Si x es un número primo, entonces x es impar.

El 3 es un número primo.

El 3 es impar.

 

Si se sustituye uniformemente x por 3 en la primera premisa, el argumento es válido. Consideremos ahora este:

 

Si x es un número primo, entonces x es impar.

El 2 es un número primo.

El 2 es impar.

 

Es igualmente válido, a pesar de que la conclusión es falsa. ¿Qué garantiza este resultado? La definición de validez: Un argumento es válido si no ocurre que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Lo anterior quiere decir que si en un argumento válido la conclusión es falsa, entonces al menos una premisa es falsa. En nuestro segundo ejemplo, la primera premisa es falsa, para lo cual basta con sustituir en ella x por el número 2.

 

Si como se dice a la lógica le interesa, más que la verdad o falsedad, la corrección de los argumentos (Conradie & Goranko, 2015, p. 101), entonces la tarea de la lógica se reduce a evaluar si tales argumentos son instancias de las reglas de inferencia con las que un determinado sistema deductivo se compromete.

 

Obviamente, que un argumento sea instancia de una o un conjunto de reglas de inferencias no siempre es sencillo de determinar, y es necesario desplegar un proceso de prueba que en ocasiones es tedioso; adicional, si los argumentos son expresión de situaciones de habla cotidiana, la tarea de reconstrucción formal supondría una dificultad mayor. Veamos este ejemplo, (Deaño, 1994, p. 143):

 

La felicidad, amigo mío, es imposible. En todo caso, si no es imposible, al menos está muy lejos. Verá usted por qué. Si intenta usted seriamente contribuir a hacer la revolución, tarde o temprano le introducirán en la cárcel, lo cual prácticamente nunca resulta grato. Ahora bien: ¿qué otra cosa puede hacer usted? ¿Integrarse en el sistema planetario de explotación? Puede hacerlo, por supuesto, pero entonces -siendo, como es usted, lúcido- pronto hará presa en usted la mala conciencia. Triste es, pues, su destino: o la mazmorra o el remordimiento.

 

Prescindiendo de los elementos retóricos e interrogativos, el argumento en cuestión se reduciría al siguiente esquema:

 

p ® r, q ® s, Ø(p « q)

r ˅ s

 

Y cuya prueba es esta:

 

1.  p ® r                                                         Premisa

2. q ® s                                                          Premisa

3.  Ø(p « q)                                                   Premisa

4.  Ø((p ® q) ˄ (q ® p))                                Equiv. Mat. 3

5. Ø(p ® q) Ú Ø(q ® p)                                De Morgan 4

6. Ø(Øp Ú q) Ú Ø(Øq Ú p)                             Impl. Mat. 5

7. (ØØp ˄ Øq) Ú (ØØq ˄ Øp)                        De Morgan 6

8. (p ˄ Øq) Ú (q ˄ Øp)                                   D.N. 7

9. ((p ˄ Øq) Ú q) ˄ ((p ˄ Øq) Ú  Øp))            Dist. 8

10. (p ˄ Øq) Ú q                                             Simpl. 9

11. (p Ú q) ˄ (Øq Ú q)                                    Dist. 10

12. p Ú q                                                        Simpl. 11

13. Øp ® q                                                    Impl. 12

14. (p ˄ Øq) Ú  Øp                                                     Simpl. 9

15. (p Ú Øp) ˄ (Øq Ú  Øp)                                         Dist. 14

16. Øq Ú  Øp                                                              Simpl. 15

17. q ® Øp                                                                Impl. 16

18. Øp ® s                                                                S.H. 13, 2

19. Øs ® p                                                                Transp. 18

20. Øs ® r                                                                 S.H. 19, 1

21. s Ú r                                                                     Impl. 20

22. r Ú s                                                                     Conm. 21

 

Desde luego, se podría cuestionar el argumento teniendo en cuenta su contenido, pensando -posiblemente- por las implicaciones políticas que dicho argumento podría tener, pero eso es otro tema que correspondería debatir al moralista y no al lógico. Lo importante es que luego de las premisas, se infieren fórmulas que son instancias de reglas de inferencias lógicas, las cuales, garantizan -en este caso- la validez del argumento.

 

Introduzcamos, ahora, algunos conceptos para precisar (Conradie & Goranko, 2015, p. 111):

 

(i)       Corrección: Un sistema deductivo D es correcto para una determinada semántica lógica si se puede derivar en D solo consecuencias válidas; es decir:

 

A₁,…A_n ├ C implica A₁,…A_n ╞ C.

 

En otras palabras, si una fórmula se deriva válidamente de un conjunto de fórmulas (premisas), entonces dicha fórmula es lógicamente verdadera.

 

(ii) Completud: Un sistema deductivo D es completo para una semántica dada si en D puede derivarse cada consecuencia lógica; es decir:

 

A₁,…A_n ╞ C implica A₁,…A_n ├ C

 

En otras palabras, si una fórmula es lógicamente verdadera, entonces dicha fórmula es derivable (demostrable).

 

(iii) Adecuación: Un sistema deductivo D es adecuado para una semántica si es correcta y completa; es decir:

 

A₁,…A_n ╞ C si y solo si A₁,…A_n ├ C

 

La importancia teórica de la condición de adecuación es que permite vincular la dimensión semántica con la dimensión sintáctica: Una fórmula es demostrable (es un teorema) si y solo si es verdadera lógicamente.

 

¿Podemos decir que las inferencias que realizamos diariamente son lógicas en el sentido descrito?

 

No necesariamente. Veamos dos ejemplos.

 

(1)    Estoy en Santiago

         Estoy en Veraguas

 

(Para efectos de simplicidad, supondremos que estamos ubicados en Panamá y no en Chile). En este argumento, tanto la premisa como la conclusión son verdaderas, sin embargo, ello nada tiene que ver con la lógica. Nótese que el argumento es una instancia del siguiente esquema:

 

p

q

 

El cual es a todas luces incorrecto. ¿Por qué se acepta entonces el argumento? Simplemente porque lo que en él se afirma corresponde a ciertas condiciones fácticas: la ciudad de Santiago está ubicada en la Provincia de Veraguas. Desde luego, es posible construir un marco deductivo como el siguiente:

 

Si alguien está en Santiago, está en Veraguas.

Estoy en Santiago.

Estoy en Veraguas.

Que correspondería al esquema:

 

("x) (Sx ® Vx), Sa

Va

 

El cual es válido, por ser un modus ponens.

 

(2) a = 4

     a + b = 10

     b = 6

 

Desde el punto de vista matemático, se podría construir una demostración del valor de b como sigue:

 

1.      a = 4                           Dado

2.      a + b = 10                   Dado

3.      4 + b = 10                   Sustitución identidad 2

4.      b = 10 – 4                   Igualando términos 3

5.      b = 6                           Sustracción 4

 

Sin embargo, como se puede advertir, dicha demostración no comprende regla lógica alguna; por lo cual, aunque el argumento tenga un fundamento algebraico, no quiere decir que tenga un fundamento demostrativo de naturaleza lógica. Esto ocurre con prácticamente todas las demostraciones o pruebas que encontramos en los manuales de matemáticas: las demostraciones o pruebas no son estrictamente lógicas.

De hecho, el esquema de este argumento es:

 

p

q

r

Que es claramente incorrecto.

 

Ahora, si se replantea la situación de la siguiente manera:

 

a = 4

a + b = 10

Si a = 4 y a + b = 10, entonces b = 6

b = 6

 

Cuyo esquema es este:

 

p, q, (p ˄ q) ® r

r

 

El cual es claramente correcto. En este segundo escenario, la prueba anterior permite determinar el valor de r. Veamos la prueba de validez de este esquema:

 

1. p                              Premisa

2. q                              Premisa

3. (p ˄ q) ® r             Premisa

4. p ˄ q                       Conj. 1, 2

5. r                              M.P. 3, 4

 

Los ejemplos anteriores tienen una moraleja importante. El uso técnico (lógico) de la palabra inferencia no corresponde al uso corriente que le damos a esta palabra: hay que insistir en que la inferencia en el sentido lógico comprende la implementación/ejecución de reglas. En ese sentido, algo es lógico en tanto sea el resultado de aplicación de reglas de inferencia lógicas.

 

Y esto nos lleva a otro punto. El uso de la palabra lógico en situaciones que nada tienen que ver con la lógica en sentido disciplinar; como cuando decimos, es lógico que si no es hombre, entonces es mujer. No necesariamente es así. Si hombre significa animal racional, entonces decir que si no es hombre es mujer, querría decir que las mujeres no son racionales. Más bien, si algo no es hombre, entonces es animal o vegetal. Así, la locución es lógico que en este caso, nada tiene que ver con la lógica; a diferencia de: es lógico que si p implica q y si q implica r, entonces p implica r.