Francisco Díaz Montilla
Los niños tienen que lidiar con conceptos y operaciones matemáticas desde pequeños. En primer grado, o tal vez antes, los pequeños estudiantes empiezan a trabajar con cantidades y las operaciones básicas de la aritmética. En muchos casos, crecerán y seguirán usándolas, aunque no serán capaces de responder a preguntas tan básicas como qué es un número o cuál es el fundamento de una expresión aritmética.
Los niños tienen que lidiar con conceptos y operaciones matemáticas desde pequeños. En primer grado, o tal vez antes, los pequeños estudiantes empiezan a trabajar con cantidades y las operaciones básicas de la aritmética. En muchos casos, crecerán y seguirán usándolas, aunque no serán capaces de responder a preguntas tan básicas como qué es un número o cuál es el fundamento de una expresión aritmética.
Al trabajar con cantidades, los niños son incapaces de desentenderse de las cosas: siete piñas, dos guayabas, etc. Pareciera, entonces, que la matemática no es concebible al margen de las cosas. Igualmente, las operaciones que realizan son operaciones que abarcan cosas: 3 manzanas más dos manzanas.
Esta limitada percepción puede perdurar en la adultez: la observación piagetiana sobre el desarrollo de las operaciones es una observación empírica, contingente…La lógica, es decir el pensamiento lógico, debe ser estimulada, pues su desarrollo no es puramente esquemático ni determinista.
Supongamos un mundo posible donde, con la excepción de una mente, no exista absolutamente nada. Es obvio que esa mente podría hacer matemáticas, y que las verdades matemáticas no sólo serían válidas en este austero mundo posible, sino en el nuestro.
La matemática es en gran medida cuestión de lógica, es en gran medida una cuestión de elección de principios, de términos y definiciones. Y para éstos no es necesario que existan piñas, manzanas ni guayabas, etc.
El gran lógico y matemático italiano Giuseppe Peano presentó una construcción de la aritmética de la siguiente manera: postuló una serie de términos primitivos (cero, número y sucesor) y postuló los siguientes axiomas:
A1. 0 no es sucesor de ningún número.
A2. Si x y y tienen el mismo sucesor, entonces son idénticos.
A3. x más 0 es igual a x.
A4. x más el sucesor de y es igual al sucesor de x + y.
A5. x por 0 es igual a 0.
A6. x por el sucesor de y es igual a ((x × y) + x)
A7. Si x tiene F, entonces x + 1 tiene F (principio de inducción matemática)
A partir de estas se puede definir los números mediante la relación de sucesión y construir de manera ordenada la serie de los números naturales. Denotemos la relación de sucesión mediante la letra s, de manera tal que la expresión (función) s(x) significa el sucesor de x, obtenemos:
s(0) = 1
s(s(0)) = 2
s(s(s(0)) = 3
.
.
.
Consideremos va expresión ⊢2 + 2 = 4. Se trata, como vemos, de un teorema. En la escuela se determinaba la verdad (se probaba) de este enunciado mediante el acto de contar, pero bajo el supuesto de que no hay cosas que contar, esa estrategia no nos serviría.
Lo primero que debemos hacer es traducir esta expresión al lenguaje que hemos parcialmente caracterizado: ⊢s(s(0)) + s(s(0)) = s(s(s(s(0))).
La construcción de la prueba es puramente lógica y se realiza como sigue:
1. "x"y (x + s(y)) = s(x + y) A.4
2. "y (s(s(0)) + s(y)) = s[s(s(0)) + y] E"1
3. (s(s(0)) + s(s(0))) = s[s(s(0) + s(0)] E"2
4. (s(s(0)) + s(0)) = s[s(s(0) + 0] E"2
5. (s(s(0)) + s(s(0))) = s[s[s(s(0) + 0]] E=4-3
6. "x (x + 0) = x A3
7. (s(s(0)) + 0) = s(s(0)) E"6
8. (s(s(0)) + s(s(0))) = s(s(s(s(0)))) E=5-7
Para demostrar el teorema se han usado, además de los axiomas de Peano, líneas 1 y 6, las reglas de eliminación del cuantificador universal, líneas 2, 3, 4 y 7; así como la regla de eliminación de la identidad, líneas 5 y 8. Estas reglas son reglas lógicas que encontramos en la lógica de primer orden (con identidad).
La prueba revela, además, que existe una relación muy estrecha entre lógica y matemáticas, en este caso, la aritmética. ¿Qué otras verdades podrían ser demostradas teniendo en cuenta esas relaciones?
