Escritos de lógica y filosofía

Escritos lógico filosoficos by Francisco Díaz Montilla

¿Cómo crear tablas de verdad usando Excel?

Francisco Díaz Montilla

Departamento de Filosofía

Universidad de Panamá

0.  Introducción

El método de las tablas de verdad es un método ampliamente usado en lógica de juntores para probar la validez de fórmula o de razonamientos. A pesar de que el método permite decidir el valor de cada fórmula, puede resultar engorroso cuando se trata de fórmulas complejas.

Curiosamente, Excel constituye una excelente herramienta para analizar los valores de verdad de una fórmula dada. El procedimiento es similar al que usamos para tabular datos de cualquier clase, sólo que en lo que a fórmulas lógicas respecta trabajaremos con los valores “1” y “0” (verdadero y falso respectivamente).

A continuación se procede a explicar el proceso.

1. Conectores

Para efectos de economía notacional, usaremos notación prefija o polaca[1]. En consecuencia, dadas dos proposiciones “p”, “q”:

·         “Np” significa “no p” (negación)

·         “Cpq” significa “p y q” (conjunción)

·         “Dpq” significa “p o q” (disyunción inclusiva)

·         “Kpq” significa “si p, entonces q) (implicación material)

·         “Epq” significa “p es equivalente a q” (equivalencia material).

Una valuación es una función que asocia proposiciones con valores de verdad. Si asumimos un conjunto de proposiciones P y un conjunto V = {1, 0}, quiere decir que una valuación es: v: P => V. Para efectos de simplicidad denotaremos este hecho con la expresión v(p) = 1 o v(p) = 0, según “p” sea verdadera o falsa.

De acuerdo con los manuales de lógica, si v(p) = 1, entonces su negación tomará el valor opuesto, su complemento. Podemos expresar este hecho de la siguiente manera: v(Np) = 1- v(p). Si v(p) = 1, entonces v(Np) = 1- v(p) = 1-1 = 0; y si   v(p) = 0, entonces v(Np) = 1- v(p) = 1-0 = 1. Esto se ilustra en la siguiente tabla

NEGACIÓN
p	Np
1	0
0	1

Una conjunción es verdadera si y sólo si sus elementos constituyentes son verdaderos; en caso contrario, es falsa. Esto quiere decir que basta que un elemento constituyente de una conjunción sea falso, para que la conjunción sea falsa. Este hecho lo representaremos mediante el operador “MIN”, el cual asigna a la conjunción el valor mínimo de las expresiones que aparezcan en ella. Tenemos, entonces,  que v(Cpq) = MIN(v(p), v(q)). Si asumimos que v(p) = 1 y v(q) = 0, entonces, v(Cpq) = MIN(v(p), v(q)) = MIN(1, 0) = 0. Lo anterior se sintetiza en la siguiente tabla:

CONJUNCIÓN
P	Q	Cpq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Una disyunción  es falsa si y sólo si sus elementos constituyentes son falsos; en caso contrario, es verdadera. Esto quiere decir que basta que un elemento constituyente de una conjunción sea verdadero, para que la disyunción sea verdadera. Este hecho lo representaremos mediante el operador “MAX”, el cual asigna a la disyunción el valor máximo de las expresiones que aparezcan en ella. Tenemos, entonces,  que v(Dpq) = MAX(v(p), v(q)). Si asumimos que v(p) = 1 y v(q) = 0, entonces, v(Dpq) = MAX(v(p), v(q)) = MAX(1, 0) = 1. Lo anterior se sintetiza en la siguiente tabla:

DISYUNCIÓN
P	Q	Dpq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Una implicación material  es falsa si y sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En caso contrario, es verdadera.  Este hecho lo representaremos mediante la relación “<=” (menor o igual) del modo siguiente: v(Dpq) = MAX(v(p), v(q)). Si asumimos que v(p) = 1 y v(q) = 0, entonces, v(Kpq) = 1, si y sólo si: v(p) <= v(q). En caso contrario es igual a 0. Si asumimos que v(p) = 1 y v(p) = 0, entonces v(Kpq) = v(p) <= v(q) = 1 <= 0. En vista de que la desigualdad no se satisface, quiere decir que v(Kpq) = 0.  La tabla de verdad siguiente muestra las combinaciones posibles para la implicación material:

IMPLICACIÓN
P	Q	Kpq
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Una     equivalencia material es verdadera  si y sólo los valores de sus constituyentes son iguales; en caso contrario, es falsa. Este hecho lo representaremos mediante la relación “=” (igual a) del modo siguiente: v(Epq) = 1 si y sólo si v(p) = v(q). En caso contrario tomará el valor 0. Si asumimos que v(p) = 0 y v(q) = 0, entonces, v(Epq) = v(p) = v(q) = 0 = 0 = 1. La tabla de verdad siguiente muestra las combinaciones posibles para la equivalencia material:

EQUIVALENCIA
P	Q	Kpq
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

2. Generadores

Para cada fórmula F existe un conjunto F^G llamado el generador de F. La cardinalidad F^G es mayor que 0. De hecho, si F es una proposición simple, su generadora es justamente dicha proposición. La cardinalidad de F^G, no puede ser, por lo tanto, menor a 1. Sea F la fórmula “CpKqr”, los generadores de F son, en primer lugar, las proposiciones simples “p”, “q”, “r”; en segundo lugar, la implicación “Kqr” y, finalmente, F. F tiene, pues, cinco generadores. Esto es de suma importancia para la construcción de las tablas de verdad usando Excel, pues es necesario asignar valores a cada generador. Aplicando lo que hemos dicho anteriormente tenemos que: v(CpKqr) = MIN(v(p), v(Kqr)) = MIN(v(p), (v(q) <= v(r))).

3. Excel

Excel es una herramienta que permite, entre otras cosas, elaborar tablas de doble entrada, las columnas, que aparecen identificadas con las letras A, B, C…, y las filas, que aparecen numeradas. La intersección de una columna con una fila constituye una celda. Por ejemplo, la intersección de la columna B con la fila 8 constituyen la celda B8 que hemos resaltado con el color amarillo.

Un conjunto de celdas constituyen un rango.

Pues bien, al construir la tabla de verdad de una fórmula mediante Excel, tenemos que colocar cada generador de la fórmula en celdas distintas, y en el mismo rango (horizontal).

Si partimos del ejemplo anterior, podemos colocar el generador “p” en la celda B8, “q” en la celda C8, “r” en la celda  en la celda D8, “Kqr” en la celda E8 y “CpKqr” en la celda F8, tal como se ilustra a continuación:

Una vez  que hemos escrito los generadores en sus respectivas celdas, procedemos a asignarles los valore de verdad a cada columna, empezando por las proposiciones simples. Como en la fórmula hay tres proposiciones simples, tenemos una tabla de 2³ filas:

Para determinar el valor de “Kqr”, nos situamos en la celda E9. Notemos que estamos ante una implicación material. En la celda mencionada escribimos la expresión =SI(C9<=D9, "1", "0"), la cual es interpretada como: Si el valor de la celda C9 es menor o igual al valor de la celda D9, entonces asignar el valor 1, de lo contrario, asignar el valor 0. Una vez escrita la expresión, damos “enter”, y nos aparece en la celda el número “1”.

Luego extendemos el valor asignado hasta la celda E16 y se obtiene la tabla completa para esa columna E:

Para determinar los valores “CpKqr” nos situamos en la celda F9. Notemos que se trata de una conjunción, razón por la cual debemos usar el operador MIN. Dado que ya sabemos cuáles son los valores de los componentes de esta fórmula, lo que tenemos que hacer es aplicar el operador MIN a las columnas B9 y E9. Escribimos, entonces, en E9 la expresión: =MIN(B9, E9), el cual se interpreta como asignar a F9 el valor mínimo de B9 y E9. Al teclear “enter” aparecerá “1”, y al extender la operación hasta la celda F16 se obtiene la tabla completa:

Finalmente, para propósitos de presentación, escribimos en B7 la fórmula original, y la unimos con las celdas C7:F7, y –si gustamos- le asignamos colores a cada generador y su respectiva columna:

Consideremos, ahora, la fórmula ENCpqDpr (la negación de la conjunción de p y q es materialmente equivalente a la disyunción de p o r). En este caso, los generadores de la fórmula son: “p”, “q”, “r”, “Cpq”, “Dpr”, “NCpq” y “ENCpqDpr”, los cuales se ubican en el rango B8:H8. Asignamos los valores a las proposiciones simples, siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior. Para determinar el valor de “Cpq” escribimos en la celda E9 la fórmula: =MIN(B9, C9), damos “enter” y la extendemos hasta E16. 

Para “NCpq”, escribimos en F9 la fórmula: =1-E9, pues es “NCpq” es la negación de “Cpq”; damos “enter” y la extendemos hasta F16:

En vista de que “Dpr” es una disyunción usamos el operador MAX y escribimos en G9 la expresión siguiente: =MAX(B9, D9), damos “enter” y extendemos la instrucción hasta G16, lo cual nos da lo siguiente:

Y finalmente, en vista de que “ENCpqDpr” es una equivalencia material, es necesario usar la igualdad. Nos colocamos en la celda H9 y escribimos: =SI(F9 = G9, “1”, “0”); lo cual quiere decir: si el valor de F9 es igual al valor de G9, dar a H9 el valor 1, en caso contrario, el valor 0. Y obtenemos, así, la tabla de verdad de nuestra proposición.

4. A manera de conclusión

Lo anterior constituye una exposición muy sucinta de cómo puede usarse Excel para la construcción de tablas de verdad para lógica proposicional, razón por la cual podemos hacer del curso de lógica algo ameno, entretenido y compatible con lo tecnológico. Básicamente lo que hay que tener presente son las operaciones que hemos definido anteriormente:

Np = 1-p

Cpq = MIN(p, q)

Dpq = MAX(p, q)

Kpq = 1, si p <= q; en caso contrario, es igual a 0

Epq = 1, si p = q; en caso contrario, es igual a 1.

Pero, sobre todo, debemos tener presente que al representarlo en Excel, cada proposición se interpreta como si fuese una celda.

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[1] Los símbolos para representar algunos han sido cambiados, por ejemplo, en lugar “K” usamos “C” para la conjunción; en lugar de “A” usamos “D” para la disyunción, y en lugar de “C” usamos “K” para la implicación material.

Lógica y aritmética

Francisco Díaz Montilla


Los niños tienen que lidiar con conceptos y operaciones matemáticas desde pequeños. En primer grado, o tal vez antes, los pequeños estudiantes empiezan a trabajar con cantidades y las operaciones básicas de la aritmética. En muchos casos, crecerán y seguirán usándolas, aunque no serán capaces de responder a preguntas tan básicas como qué es un número o cuál es el fundamento de una expresión aritmética.

Al trabajar con cantidades, los niños son incapaces de desentenderse de las cosas: siete piñas, dos guayabas, etc. Pareciera, entonces, que la matemática no es concebible al margen de las cosas. Igualmente, las operaciones que realizan son operaciones que abarcan cosas: 3 manzanas más dos manzanas.

Esta limitada percepción puede perdurar  en la adultez: la observación piagetiana sobre el desarrollo de las operaciones es una observación empírica, contingente…La lógica, es decir el pensamiento lógico, debe ser estimulada, pues su desarrollo no es puramente esquemático ni determinista.

Supongamos un mundo posible donde, con la excepción de una mente, no exista absolutamente nada. Es obvio que esa mente podría hacer matemáticas, y que las verdades matemáticas no sólo serían válidas en este austero mundo posible, sino en el nuestro.

La matemática es en gran medida cuestión de lógica, es en gran medida una cuestión de elección de principios, de términos y definiciones. Y para éstos no es necesario que existan piñas, manzanas ni guayabas, etc.

El gran lógico y matemático italiano Giuseppe Peano presentó una construcción de la aritmética de la siguiente manera: postuló una serie de términos primitivos (cero, número y sucesor) y postuló los siguientes axiomas:

A1. 0 no es sucesor de ningún número.

A2. Si x y y tienen el mismo sucesor, entonces son idénticos.

A3. x más 0 es igual a x.

A4. x más el sucesor de y es igual al sucesor de x + y.

A5. x por 0 es igual a 0.

A6. x por el sucesor de y es igual a ((x × y) + x)

A7. Si x tiene F, entonces x + 1 tiene F (principio de inducción matemática)

A partir de estas se puede definir los números mediante la relación de sucesión y construir de manera ordenada la serie de los números naturales. Denotemos la relación de sucesión mediante la letra s, de manera tal que la expresión (función) s(x) significa el sucesor de x, obtenemos:

s(0) = 1

s(s(0)) = 2

s(s(s(0)) = 3

.

.

.

Consideremos va expresión ⊢2 + 2 = 4. Se trata, como vemos, de un teorema. En la escuela se determinaba la verdad (se probaba) de este enunciado mediante el acto de contar, pero bajo el supuesto de que no hay cosas que contar, esa estrategia no nos serviría.

Lo primero que debemos hacer es traducir esta expresión al lenguaje que hemos parcialmente caracterizado: ⊢s(s(0))  + s(s(0))  = s(s(s(s(0))).

La construcción de la prueba es puramente lógica y se realiza como sigue:

1. "x"y (x + s(y)) = s(x + y)                          A.4

2. "y (s(s(0)) + s(y)) = s[s(s(0)) + y]              E"1

3. (s(s(0)) + s(s(0))) = s[s(s(0) + s(0)]            E"2

4. (s(s(0)) + s(0)) = s[s(s(0) + 0]                     E"2

5. (s(s(0)) + s(s(0))) = s[s[s(s(0) + 0]]            E=4-3

6. "x (x + 0) = x                                             A3

7. (s(s(0)) + 0) = s(s(0))                                  E"6

8. (s(s(0)) + s(s(0))) = s(s(s(s(0))))                  E=5-7

Para demostrar el teorema se han usado, además de los axiomas de Peano, líneas 1 y 6, las reglas de eliminación del cuantificador universal, líneas 2, 3, 4 y 7; así como la regla de eliminación de la identidad, líneas 5 y 8. Estas reglas son reglas lógicas que encontramos en la lógica de primer orden (con identidad).

La prueba revela, además, que existe una relación muy estrecha entre lógica y matemáticas, en este caso, la aritmética. ¿Qué otras verdades podrían ser demostradas teniendo en cuenta esas relaciones?