Francisco Díaz Montilla
A. Partamos de la siguiente distinción. La filosofía de la matemática es la disciplina que reflexiona sobre problemas filosóficos que surgen en la matemática. ¿La infinitud de los números se entiende como potencialidad o como actualidad?, ¿cómo se relaciona la matemática con el mundo?, ¿qué tipo de existencia tienen los objetos matemáticos?, ¿alcanza el falibilismo al conocimiento matemático?, entre múltiples otras cuestiones problemáticas. Podrá parecer que este tipo de preguntas no tienen sentido -o constituyen, como muchas preguntas filosóficas, una auténtica pérdida de tiempo- sin embargo, han sido iluminadoras en muchos aspectos, incidiendo las respuestas ofrecidas en cómo se concibe y practica la disciplina. Por ejemplo, la discusión sobre el infinito ha incidido en el desarrollo de metodologías constructivas y finitistas basadas en la idea de que el infinito matemático actual es insostenible, poniendo entre paréntesis algunas tesis tradicionalmente aceptadas: rechazo del principio de tercero excluido en lógica, cuestionamiento al axioma de elección y -en general- rechazo a toda formulación matemática que no sea expresión de una construcción.
Por su parte, la filosofía matemática se refiere a una manera de hacer filosofía. Posiblemente se trata de algo más metafilosófico que algo propiamente filosófico, es decir, tendría que ver con una cuestión adjetiva (de procedimiento) más que sustantiva (de contenido). Es hacer filosofía empleando técnicas de razonamiento y argumentación matemática, lo cual supone dejar a un lado las formas tradicionales de argumentar filosóficamente.
B. La denominación «filosofía matemática» evoca otras denominaciones disciplinares existentes, por ejemplo, la física-matemática, que -de acuerdo con el Journal of Mathematics of Physics- es «la aplicación de las matemáticas a problemas del ámbito de la física y el desarrollo de métodos matemáticos apropiados para estos usos y para el desarrollo de conocimientos físicos», y comprende -para tal propósito- una amplia gama de conceptos, teorías y métodos matemáticos, desde topología, álgebra lineal y geometría, pasando por ecuaciones diferenciales ordinarias, transformaciones de Fourier hasta derivadas parciales, ecuaciones elípticas, ecuaciones simétrico hiperbólicas, ecuaciones parabólicas y grupos, entre otros. O bien la lingüística-matemática la cual, según S. Marcus, E. Nicolau y S. Sati (Introducción en la lingüística matemática) «estudia los fenómenos de lengua mediante procedimientos matemáticos», para dar forma a una amplia gama de conceptos fundamentales desde el punto de vista de la lingüística teórica (y aplicada): configuraciones, relaciones subordinadas, jerarquía de Chomsky, y un inmenso etcétera. Y -desde luego- la lógica-matemática, que es el estudio de la lógica formal dentro de la matemática, la cual -según el Handbook of Mathematical Logic - comprende teoría de modelos, teoría de pruebas, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La filosofía matemática de manera similar tendría que ver con el tratamiento de problemas filosóficos aplicando métodos matemáticos, y -también- con las relaciones conceptuales que hay entre filosofía y matemática.
C. Uno de los lugares comunes más comunes es que la filosofía es la madre de todas las ciencias. Con ello, los no-filósofos suelen mostrar una condescendencia hacia una disciplina -la filosofía- que no necesariamente es de su interés, posiblemente como una forma de manifestar una postura políticamente correcta, sobre todo en espacios deliberativos donde se requiere evidenciar cierto nivel de cultura: renegar de la filosofía podría considerarse un acto de temeraria ignorancia. Es también una muletilla que -con frecuencia- repiten los docentes, posiblemente como una forma de autojustificar la razón por la cual se enseña filosofía, cuando -tal vez- ese espacio podría dedicarse a otra cosa.
Visto históricamente, la filosofía debe más a la matemática que al revés. No deja de ser una curiosidad la exigencia platónica para entrar a la Academia y el rol que los objetos geométricos tienen en la cosmología desarrollada en Timeo; tampoco deja de ser una curiosidad el rol que -antes de Platón- le diera Pitágoras a los números en su cosmovisión filosófica. Asimismo, conceptos como «justicia conmutativa», «justicia distributiva» y «justo medio», tan básicos en la filosofía moral (política) de Aristóteles son de claro cuño matemático. Ya en la modernidad, el gran Spinoza nos lega la que -posiblemente- sea la obra que mejor ilustra el impacto de la matemática (método geométrico) en la filosofía: La ética demostrada según el orden geométrico. Sin pasar por alto, la centralidad de las matemáticas en las obras de Descartes, de Leibniz y de Newton.
Sí, hay una suerte de complicidad histórica entre matemática y filosofía, pero en esa relación, ha sido la filosofía la que más provecho ha obtenido.
D. Posiblemente, hoy la expresión «filosofía matemática» tenga un sentido distinto al expresado por Russell en su célebre Introduction to Mathematical Philosophy (un clásico sobre la relación filosofía-matemáticas). Señala Russell lo siguiente: «Mathematics is a study which, when we start from its most familiar portions, may be pursued in either of two opposite directions. The more familiar direction is constructive, towards gradually increasing complexity: from integers to fractions, real numbers, complex numbers; from addition and multiplication to differentiation and integration, and on to higher mathematics. The other direction, which is less familiar, proceeds, by analysing, to greater and greater abstractness and logical simplicity; instead of asking what can be defined and deduced from what is assumed to begin with, we ask instead what more general ideas and principles can be found, in terms of which what was our starting-point can be defined or deduced. It is the fact of pursuing this opposite direction that characterises mathematical philosophy as opposed to ordinary mathematics. But it should be understood that the distinction is one, not in the subject matter, but in the state of mind of the investigator».
Pero como he dicho, se trata de una forma de «hacer» filosofía, no de hacer matemáticas, he ahí la diferencia.
La filosofía matemática requiere básicamente posicionarse en las estructuras matemáticas construidas y elaboradas, v.g., teoría de conjuntos, lógica, teoría de grupos, álgebra universal, topología, teoría de las categorías, teorías de las probabilidades, entre otras para tratar cuestiones de naturaleza filosófica, ya sea de tipo metafísico (ontológico), epistemológico, de racionalidad práctica, etc.; pero para ello, se requiere que el filósofo se adentre en esas profundas aguas.
Esos métodos tal vez sean más fiables que los tradicionales «métodos filosóficos», que suelen ser más bien expresión de las singulares convicciones personales del filósofo, y -que fuera de ese ámbito- tienen muy poca utilidad.
El barniz matemático en filosofía permite tratar de manera mucho más rigurosa los problemas filosóficos y evaluarlos críticamente con fundamentos más estables y sólidos.
E. Podría decirse, por otro lado, que la filosofía matemática es formal, aboga por un lenguaje transparente y preciso. En ese sentido, la colección de textos de Richard Montague publicados bajo el rótulo Formal Philosophy, así como el manual Introduction to Formal Philosophy, editado por Sven Ove Hansson y Vincent F. Hendricks ofrece una perspectiva global de cómo abordar cuestiones filosóficas desde estas coordenadas; sin olvidar -desde luego- que en el siglo XX se dieron importantes formulaciones teóricas para tratar algunos problemas fundamentales, v.g., el desarrollo de la concepción semántica de la verdad por Alfred Tarski, los teoremas de limitación de Gödel, el desarrollo de los marcos kripkeanos para hacer operativo el concepto de mundos posibles y todas sus aplicaciones, o la construcción de sistemas formales para el tratamiento de cuestiones éticas, etc.
Hay, pues, detrás de la filosofía matemática una historia que no puede minimizarse y se proyecta a futuro de manera optimista. Justamente, dada la rigurosidad que entraña, la filosofía matemática permite generar condiciones de diálogo con disciplinas como las ciencias cognitivas, la inteligencia artificial, las neurociencias, las ciencias de la computación, entre otras.
Prestigiosos centros de investigación se enfocan en llevar a cabo investigaciones en esa dirección. Por ejemplo, el Munich Center for Mathematical Philosophy adscrito a la Ludwig-Maximilians Universität ha concebido una ambiciosa estructura de investigación que comprende teoría de la decisión y filosofía de la ciencia social, epistemología, lógica, filosofía de la inteligencia artificial, filosofía del lenguaje, filosofía de la matemática, filosofía de la física y filosofía de la ciencia; y presenta en su sitio web (https://www.mcmp.philosophie.uni-muenchen.de/students/math/index.html) una valiosa colección de textos sobre lógica, teoría de conjuntos, teoría de modelos, lógica modal, métodos formales, epistemología formal, entre otros.
La filosofía matemática, en ese sentido, reivindica una visión de la filosofía que va de la mano del conocimiento científico, que se nutre de él y lo enriquece como posiblemente no lo haga ninguna de las orientaciones filosóficas actualmente en boga.
