Francisco Díaz Montilla
0.
La lógica infinitaria o, tal vez más apropiadamente, lógicas infinitarias son extensiones de la lógica de primer orden (LPO) con una mayor capacidad expresiva (algunas de ellas son en realidad lógica de segundo orden), lo cual permite formular expresiones que no pueden expresarse en LPO.
Para caracterizar una lógica infinitaria partamos de una definición y propiedades básicas de un lenguaje infinitario de la manera siguiente (Bell, 2016):
Dado un par κ, λ de cardinales infinitos tales que λ ≤ κ, se define una clase de lenguajes infinitos en los que se pueden formar conjunciones y disyunciones de conjuntos de fórmulas de cardinalidad <κ, y cuantificaciones sobre secuencias de variables de longitud <λ.
Sea L -el lenguaje base finitario- un arbitrario pero fijo LPO con un número cualquiera de símbolos extralógicos. El lenguaje infinitario L(κ, λ) tiene los siguientes símbolos básicos:
(i) Todos los símbolos de L.
(ii) Un conjunto Var de variables individuales, donde la cardinalidad de Var (denotada por: |Var|) es κ.
(iii) Un operador lógico ∧ (conjunción infinitaria).
La clase de prefórmulas de L(κ, λ) se define recursivamente de la manera siguiente:
(i) Cada formula de L es una prefórmula;
(ii) Si φ y ψ son prefórmulas, también lo son φ ∧ ψ y ¬φ;
(iii) Si Φ es un conjunto de prefórmulas tal que |Φ| < κ, entonces ∧Φ es una prefórmula;
(iv) Si φ es una prefórmula y X ⊆ Var es tal que |X| < λ, entonces ∃Xφ es una prefórmula;
(v) Toda prefórmula se define de acuerdo con las cláusulas anteriores.
Es importante considerar algunas convenciones. Si Φ es un conjunto de prefórmulas indexadas por un conjunto I, v.g., Φ = {φi : i ∈ I}, entonces denotamos ∧Φ mediante:
∧i ∈ I φ
O, suponiendo que I es el conjunto de números naturales, se escribe ∧Φ por:
φ0 ∧ φ1 ∧ …
Si X es un conjunto de variables de individuo indexadas por un ordinal α, digamos X = {xξ : ξ < α}, escribimos (∃xξ)ξ<αφ para ∃Xφ.
Los operadores lógicos ∨, →, ↔ se definen como habitualmente se hace. Se introduce el operador ∨ (disyunción infinitaria) y ∀ (cuantificador universal) mediante:
∨Φ =df ¬∧{ ¬φ : φ ∈ Φ}
∀Xφ =df ¬∃X¬φ,
Se puede emplear convenciones similares para ∧, ∃.
Resulta entonces que L(κ, λ) es el lenguaje infinitario obtenido desde L permitiendo conjunciones y disyunciones de longitud <κ y cuantificaciones de longitud menores que < λ. Los lenguajes L(κ, ω) son llamados lenguajes de cuantificadores finitos, mientras que el resto son lenguajes con cuantificadores infinitos. En particular, L(ω, ω) es justamente L.
Una fórmula de L(κ, λ) es una prefórmula que contiene variables libres < λ. El conjunto de todas las fórmulas de L(κ, λ) se denota mediante Form(L(κ, λ)) -o simplemente Form(κ, λ)- y el conjunto de todos los enunciados mediante Sent(L(κ, λ)) -o simplemente Sent(κ, λ).
La semántica de L(κ, λ) se puede describir de la siguiente manera. Sea A una L-estructura, una fórmula de L(κ, λ) es satisfecha en A del mismo modo en que lo es en L, aunque ahora se agregan las siguientes cláusulas:
(1) ∧Φ es satisfecha en A (por una secuencia dada) sii para cada φ ∈ Φ, φ es satisfecha en A (por la secuencia);
(2) ∃Xφ es satisfecha en A sii existe una secuencia de elementos desde el dominio A en correspondencia biyectiva con X que satisface φ en A.
Finalmente, si A es un L-estructura y σ ∈ Sent(κ, λ), denotamos A es un modelo de σ con A ╞ σ, y si σ es válida, es decir para toda A, A ╞ σ, lo denotamos con ╞ σ. Si Δ ⊆ Sent(κ, λ), se escribe Δ ╞ σ para σ es una consecuencia lógica de Δ, es decir, cada modelo de Δ es un modelo de σ.
Pero, ¿a qué apunta todo esto?
1.
Con frecuencia matemáticamente hablando, nos encontramos con conceptos que no pueden ser expresados en LPO y que -sin embargo- son centrales en la práctica matemática. Tal es el caso de la caracterización del modelo estándar de la aritmética, la caracterización de la clase de todos los conjuntos finitos o el concepto de buen orden.
El modelo estándar de la aritmética, por ejemplo, puede plantearse en L(ω1, ω) de la siguiente manera (Bell, 2016): el modelo estándar de la aritmética es la estructura N = ⟨N, +, ·, s, 0⟩, donde N es el conjunto de números naturales, +, ·, y 0 tienen sus significados habituales, y s es la operación sucesor. Si L es una estructura de LPO apropiada para N, entonces la clase de L-estructuras isomórficas a N coinciden con la clase de modelos de la conjunción de los siguientes L(ω1, ω) enunciados (donde 0 es un nombre de 0):
∧m∈ω ∧n∈ω sm0 + sn0 = sm+n0
∧m∈ω ∧n∈ω sm0 · sn0 = sm·n0
∧m ∈ ω ∧n ∈ ω−{m} sm0 ≠ sn0
∀xm ∈ ω x = sm0
Los términos snx se definen recursivamente:
s0x = x
sn+1x = s(snx)
En cambio, la clase de todos los conjuntos finitos en L(ω1, ω) se aborda de la siguiente manera (Bell, 2016): El lenguaje base no tiene símbolos extralógicos. La clase de todos los conjuntos finitos coincide, entonces, con la clase de modelos del L(ω1, ω) enunciado:
∨n ∈ ω ∃v0 … ∃vn∀x (x = v0 ∨ … ∨ x = vn).
Finalmente, con respecto a la caracterización del buen orden en L(ω1, ω1), el lenguaje base L incluye el símbolo de predicado binario ≤. Sea σ1 los L-enunciados que caracterizan el orden lineal (reflexividad, antisimetría, transitividad, totalidad). Entonces la clase de las L-estructuras en las que la interpretación de ≤ es un buen orden coincide con la clase de modelos del L(ω1, ω1) enunciado σ = σ1 ∧ σ2, donde:
σ2 =df (∀vn)n∈ω ∃x [∨n∈ω (x = vn) ∧ ∧n ∈ω (x ≤ vn)].
Como se nota, el enunciado σ2 contiene cuantificadores infinitos, que expresa la aserción esencial en lógica de segundo orden (LSO) según la cual cada subjconjunto contable tiene un miembro mínimo.
Bajo el supuesto de que estos problemas se resuelvan racionalmente de manera positiva, ¿cuál es entonces el problema?
2.
Entre las propiedades de la lógica de primer orden (LPO) están: (i) la compacidad numerable y (ii) Lowenheim-Skolem.
De acuerdo con el teorema de compacidad , siendo L un lenguaje de primer orden y T un conjunto de enunciados de L, si todos los subconjuntos finitos de T tienen modelos, entonces T tiene un modelo (Torres Falcón, 2002), o de manera equivalente (teorema de finitud): Sea una fórmula L una consecuencia lógica de un conjunto T de fórmulas de L, existe un subconjunto finito S de T tal que la fórmula es consecuencia de S.
Las consecuencias prácticas de este teorema son realmente valiosas, pues expresa algo muy deseable desde el punto de vista lógico: «que los argumentos son esencialmente finitos y, si existiera un argumento correcto con un conjunto infinito de premisas, el teorema de compacidad asegura que dentro de ese conjunto se puede escoger un conjunto finito de premisas que garantiza la conclusión» (Torres Falcón, 2002, p. 253).
Otras importantes aplicaciones del teorema están relacionadas con la construcción de modelos, pues “basta verificar que cada subconjunto finito de un conjunto dado de enunciados tiene un modelo para poder garantizar la existencia de un modelo de todo el conjunto” y para la demostración de consistencia de teorías con conjuntos infinitos de axiomas, pues “en virtud de los teoremas de completud y corrección para la lógica de primer orden, para verificar que de un conjunto infinito de axiomas no se puede deducir contradicciones, basta comprobar que cada subconjunto finito de axiomas tiene modelos” (Torres Falcón, 2002, p. 253).
Sin embargo, de acuerdo con el teorema se puede demostrar que la clase de todos los conjuntos finitos no es elemental, es decir que no existe ningún conjunto de enunciados en ningún lenguaje de primer orden tal que sus modelos sean precisamente los conjuntos finitos.
La demostración es la siguiente (Torres Falcón, 2002): Sea L un lenguaje de primer orden y T un subconjunto de de L cuyos modelos son precisamente los conjuntos finitos. Si se agrega a T el conjunto de enunciados {σ(n) = 1, 2, 3…} se obtiene un nuevo conjunto T*. Si S es un subconjunto finito de T*, entonces S tiene un modelo, pues al ser finito, sólo aparece en S un conjunto finito de los enunciados que fueron agregados. Por lo que hay un número máximo n que aparece en ellos y cualquier conjunto finito con más elementos de n será modelo de S, entonces todo subconjunto finito de T* tiene modelo. Luego, por teorema de compacidad, T* tiene modelo. Pero ese modelo debe ser infinito y además debe ser modelo de T, lo cual contradice la hipótesis de que los modelos de T son precisamente los conjuntos finitos.
De acuerdo con la segunda, si T tiene un modelo infinito, entonces T tiene modelos de cualquier cardinalidad. El teorema se enuncia en dos partes, una ascendente que garantiza la existencia de modelos de cardinales de infinitos grandes, y otras descendente, que garantiza la existencia de modelos de la cardinalidad del lenguaje.
Por su parte, el teorema de Lowenheim-Skolem implica que no existe un conjunto S tal que K = Mod(S).
Ambos teoremas pueden interpretarse como teoremas limitativos (Torres Falcón, 2002). No obstante, hemos visto que -por ejemplo- la idea de finitud que no puede expresarse mediante LPO puede ser expresada mediante L(ω1, ω1), sin embargo al ser esta una LSO, arrastra sus limitaciones metateóricas, v.g., la propiedad de incompletitud.
Tanto el teorema de compacidad como el de Lowenheim-Skolem son resultados fundamentales para la lógica de primer orden y -obviamente- para cualquier teoría de primer orden que pueda expresarse en ella. De hecho, Lindström (Lindström, 1969) ha demostrado que LPO es la única que dispone simultáneamente de ambos teoremas. Lo cual nos lleva al siguiente dilema: elegir la relativa simplicidad de LPO, manteniendo dichos teoremas y sacrificando expresividad; o elegir la relativa complejidad de algún sistema de lógica infinitaria, renunciando a dichos teoremas y ganando mayor expresividad.
Referencias
Bell, J. L., 2016. "Infinitary Logic", The Stanford Encuclopedia of Philosophy. [Online]
Available at: https://plato.stanford.edu/cgi-bin/encyclopedia/archinfo.cgi?entry=logic-infinitary
[Accessed 19 junio 2021].
Lindström, P., 1969. On Extensions of Elementary Logic. Theoria, Issue 35, pp. 1-11.
Torres Falcón, Y., 2002. Teoremas limitativos de la lógica clásica de primer orden. Signos Filosóficos, Issue 7, pp. 245-262.
