Francisco Díaz Montilla
Dado
que la lógica deductiva trata fundamentalmente la relación de consecuencia
lógica, es necesario armarse de un conjunto de reglas que permitan realizar esa
tarea. Por regla de inferencia se entiende
un esquema
P1,…,Pn
C
Donde P1,…,Pn,
C son fórmulas proposicionales. Las fórmulas P1,…,Pn se llaman premisas de la regla de
inferencia y C su conclusión.
Posiblemente,
la más conocida regla de inferencia sea la de eliminación de la implicación o
modus ponens; la cual indica que dada una implicación p ® q, si ocurre que p, se
sigue que es el caso que q. Formalmente:
p ® q, p
q
Consideremos
el siguiente ejemplo:
Si Biden
obtiene 270 votos del colegio electoral, será el 46 presidente de USA.
Biden
obtiene 270 votos del colegio electoral.
Biden
será el 46 presidente de USA.
Como
estamos ante una instancia de la regla de modus ponens, se sigue que la
inferencia realizada es correcta.
La
regla en cuestión es indiferente a la verdad, es decir, hay instancias falsas que
son igualmente válidas.
Veamos:
Si x
es un número primo, entonces x es impar.
El
3 es un número primo.
El 3
es impar.
Si
se sustituye uniformemente x por 3 en la primera premisa, el argumento es
válido. Consideremos ahora este:
Si x
es un número primo, entonces x es impar.
El
2 es un número primo.
El 2
es impar.
Es
igualmente válido, a pesar de que la conclusión es falsa. ¿Qué garantiza este
resultado? La definición de validez: Un argumento es válido si no ocurre que
las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Lo anterior quiere decir
que si en un argumento válido la conclusión es falsa, entonces al menos una
premisa es falsa. En nuestro segundo ejemplo, la primera premisa es falsa, para
lo cual basta con sustituir en ella x por el número 2.
Si
como se dice a la lógica le interesa, más que la verdad o falsedad, la
corrección de los argumentos
Obviamente,
que un argumento sea instancia de una o un conjunto de reglas de inferencias no
siempre es sencillo de determinar, y es necesario desplegar un proceso de
prueba que en ocasiones es tedioso; adicional, si los argumentos son expresión
de situaciones de habla cotidiana, la tarea de reconstrucción formal supondría
una dificultad mayor. Veamos este ejemplo,
La felicidad,
amigo mío, es imposible. En todo caso, si no es imposible, al menos está muy
lejos. Verá usted por qué. Si intenta usted seriamente contribuir a hacer la
revolución, tarde o temprano le introducirán en la cárcel, lo cual
prácticamente nunca resulta grato. Ahora bien: ¿qué otra cosa puede hacer
usted? ¿Integrarse en el sistema planetario de explotación? Puede hacerlo, por
supuesto, pero entonces -siendo, como es usted, lúcido- pronto hará presa en
usted la mala conciencia. Triste es, pues, su destino: o la mazmorra o el remordimiento.
Prescindiendo
de los elementos retóricos e interrogativos, el argumento en cuestión se
reduciría al siguiente esquema:
p
® r, q ® s, Ø(p « q)
r ˅ s
Y
cuya prueba es esta:
1. p ®
r Premisa
2. q ® s Premisa
3. Ø(p
« q) Premisa
4. Ø((p
® q) ˄ (q
® p)) Equiv. Mat. 3
5. Ø(p ® q) Ú Ø(q
® p) De Morgan 4
6. Ø(Øp Ú q) Ú Ø(Øq Ú p) Impl. Mat. 5
7. (ØØp ˄ Øq) Ú (ØØq ˄ Øp) De Morgan 6
8. (p
˄ Øq) Ú (q ˄ Øp) D.N. 7
9. ((p
˄ Øq) Ú q) ˄ ((p ˄ Øq) Ú
Øp)) Dist. 8
10. (p
˄ Øq) Ú q Simpl. 9
11. (p
Ú q) ˄ (Øq Ú
q) Dist. 10
12. p
Ú q Simpl.
11
13. Øp ® q Impl. 12
14. (p
˄ Øq) Ú Øp Simpl. 9
15. (p
Ú Øp) ˄ (Øq Ú Øp) Dist. 14
16. Øq Ú
Øp Simpl. 15
17. q
® Øp Impl. 16
18. Øp ® s S.H.
13, 2
19. Øs ® p Transp.
18
20. Øs ® r S.H.
19, 1
21. s
Ú r Impl.
20
22. r
Ú s Conm.
21
Desde
luego, se podría cuestionar el argumento teniendo en cuenta su contenido,
pensando -posiblemente- por las implicaciones políticas que dicho argumento
podría tener, pero eso es otro tema que correspondería debatir al moralista y
no al lógico. Lo importante es que luego de las premisas, se infieren fórmulas
que son instancias de reglas de inferencias lógicas, las cuales, garantizan -en
este caso- la validez del argumento.
Introduzcamos,
ahora, algunos conceptos para precisar
(i)
Corrección: Un sistema deductivo D es correcto para
una determinada semántica lógica si se puede derivar en D solo consecuencias
válidas; es decir:
A1,…An
├ C implica A1,…An ╞ C.
En
otras palabras, si una fórmula se deriva válidamente de un conjunto de fórmulas
(premisas), entonces dicha fórmula es lógicamente verdadera.
(ii)
Completud: Un sistema deductivo D es completo para una semántica dada si
en D puede derivarse cada consecuencia lógica; es decir:
A1,…An
╞ C implica A1,…An ├ C
En
otras palabras, si una fórmula es lógicamente verdadera, entonces dicha fórmula
es derivable (demostrable).
(iii)
Adecuación: Un sistema deductivo D es adecuado para una semántica si es correcta
y completa; es decir:
A1,…An
╞ C si y solo si A1,…An ├ C
La
importancia teórica de la condición de adecuación es que permite vincular la
dimensión semántica con la dimensión sintáctica: Una fórmula es demostrable (es
un teorema) si y solo si es verdadera lógicamente.
¿Podemos
decir que las inferencias que realizamos diariamente son lógicas en el sentido
descrito?
No
necesariamente. Veamos dos ejemplos.
(1) Estoy en Santiago
Estoy
en Veraguas
(Para
efectos de simplicidad, supondremos que estamos ubicados en Panamá y no en
Chile). En este argumento, tanto la premisa como la conclusión son verdaderas,
sin embargo, ello nada tiene que ver con la lógica. Nótese que el argumento es
una instancia del siguiente esquema:
p
q
El
cual es a todas luces incorrecto. ¿Por qué se acepta entonces el argumento?
Simplemente porque lo que en él se afirma corresponde a ciertas condiciones
fácticas: la ciudad de Santiago está ubicada en la Provincia de Veraguas. Desde
luego, es posible construir un marco deductivo como el siguiente:
Si
alguien está en Santiago, está en Veraguas.
Estoy
en Santiago.
Estoy en Veraguas.
Que
correspondería al esquema:
("x) (Sx ® Vx), Sa
Va
El
cual es válido, por ser un modus ponens.
(2) a
= 4
a + b = 10
b = 6
Desde
el punto de vista matemático, se podría construir una demostración del valor de
b como sigue:
1.
a = 4 Dado
2.
a + b = 10 Dado
3.
4
+ b = 10 Sustitución
identidad 2
4.
b = 10 – 4 Igualando términos 3
5.
b = 6 Sustracción
4
Sin
embargo, como se puede advertir, dicha demostración no comprende regla lógica
alguna; por lo cual, aunque el argumento tenga un fundamento algebraico, no
quiere decir que tenga un fundamento demostrativo de naturaleza lógica. Esto
ocurre con prácticamente todas las demostraciones o pruebas que encontramos en
los manuales de matemáticas: las demostraciones o pruebas no son estrictamente
lógicas.
De
hecho, el esquema de este argumento es:
p
q
r
Que es claramente
incorrecto.
Ahora, si se replantea
la situación de la siguiente manera:
a = 4
a + b = 10
Si a = 4 y a + b =
10, entonces b = 6
b = 6
Cuyo esquema es
este:
p,
q, (p
˄ q) ® r
r
El
cual es claramente correcto. En este segundo escenario, la prueba anterior permite
determinar el valor de r. Veamos la prueba de validez de este esquema:
1. p
Premisa
2. q
Premisa
3. (p
˄ q) ® r Premisa
4. p
˄ q Conj. 1, 2
5. r
M.P. 3, 4
Los
ejemplos anteriores tienen una moraleja importante. El uso técnico (lógico) de
la palabra inferencia no corresponde al uso corriente que le damos a esta
palabra: hay que insistir en que la inferencia en el sentido lógico comprende la
implementación/ejecución de reglas. En ese sentido, algo es lógico en tanto sea
el resultado de aplicación de reglas de inferencia lógicas.
Y
esto nos lleva a otro punto. El uso de la palabra lógico en situaciones
que nada tienen que ver con la lógica en sentido disciplinar; como cuando decimos,
es lógico que si no es hombre, entonces es mujer. No necesariamente es
así. Si hombre significa animal racional, entonces decir que si
no es hombre es mujer, querría decir que las mujeres no son racionales. Más
bien, si algo no es hombre, entonces es animal o vegetal. Así, la locución es
lógico que en este caso, nada tiene que ver con la lógica; a diferencia de:
es lógico que si p implica q y si q implica r, entonces p implica r.
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