Francisco Díaz Montilla
1. Introducción
Esta presentación tiene como objetivos los siguientes:
Ø Determinar los aportes de Galileo a la constitución de un nuevo paradigma en la historia de la ciencia;
Ø Analizar el rol que en dicho paradigma juegan las matemáticas;
Ø Valorar los aportes hechos por Galileo y la proyección de su obra en nuestro tiempo.
En su ya clásico Estructura de las revoluciones científicas, T. S. Khun definía el vocablo "paradigma" como una realización científica compartida por una comunidad que sirve de marco para evaluar y resolver una gama de problemas.
En esa línea cabría valorar la obra de Galileo: como una obra en la cual se crean las bases para la constitución de un nuevo paradigma. Un paradigma que explota tres ideas básicas: (i) la idea de la matematización en las explicaciones. Explicar es determinar la estructura matemática que subyace en el problema. (ii) El experimento: pasamos de la experiencia entendida mentalmente a la experiencia concreta sobre objetos. (iii) La creación de instrumentos: los sentidos humanos tienen un alcance limitado, de allí que sea necesario ampliar la capacidad resolutiva en la observación, para lo cual es necesario construir instrumentos que superen esa limitación.
Otro rasgo característico del nuevo paradigma tiene que ver con la constitución de una incipiente comunidad, esto es: los investigadores tienen conocimientos de investigaciones que otros están haciendo simultáneamente o han hecho en el pasado. Hay una relación entre Copérnico y Aristarco; entre Copérnico, Tycho Brahe y Kepler, y entre éstos y Galileo. Newton dirá luego que si pudo ver más allá del común de los hombres, se debió a que estaba sobre los hombros de gigantes. Pero esa comunidad está constituida no sólo por los temas que comparten, sino por el método que siguen. No hay duda de que en Galileo este método se perfeccionará notablemente.
2. Consideraciones generales sobre la obra de Galileo
2.1 Contextualización de la obra galileana
Durante el medioevo el pensamiento científico y filosófico en Occidente estuvo mediado por la autoridad eclesiástica. Sin embargo, el redescubrimiento de las fuentes griegas en Occidente allá por el siglo XV se tiene acceso a una gama de ideas que, aunque marginadas, se presentan a no pocos estudiosos como ideas realmente revolucionarias. Tengamos presente que ya Aristarco había señalado que la Tierra se movía en torno al Sol.
Además de las creencias astronómicas, el resurgimiento de ideas pitagóricas y neoplatónicas, reivindica la idea de que el mundo es una especie de enciclopedia escrita en lenguaje matemático y que la clave de la explicación científica radicaba en desencriptar ese lenguaje. Para nadie es un secreto la influencia que el neoplatonismo ejerció en Copérnico, en Kepler y en el propio Galileo.
Pero además, con los trabajos llevados a cabo por autores como Nicolás de Oresme y Juan Buridán en mecánica, y Roger Bacon en términos de metodología de la investigación científica, encontramos las condiciones ideales para el desarrollo de la ciencia moderna en cuanto que manifestación de un doble componente: deducción y experiencia.
En ese sentido, hay que reconocer dos cosas. La obra de Galileo es expresión –sin lugar a dudas- de un talento personal, lo cual no implica que se deban desestimar ciertas tendencias que ya encontramos en el siglo XIII, donde se enuncian ideas como el principio de inercia y se aboga por un replanteamiento metodológico de la investigación en filosofía natural.
2.2 La tríada Copérnico, Brahe y Kepler
La obra de estos tres personajes es fundamental para el desarrollo de la obra de Galileo y de Newton; aunque –como veremos- no fue un cuerpo ideológico convergente en todos los aspectos.
Pero es que la ciencia no tiene que ser una actividad puramente convergente. Es una empresa autocorregible. En ese sentido, Kepler corrige las ideas de Copérnico con respecto a la circularidad de las órbitas planetarias y reduce drásticamente su cantidad, y al hacerlo desbanca el modelo mediante el cual Brahe había pretendido conciliar geocentrismo con heliocentrismo. Galieo, sin embargo, desconoció este hecho y defendió la idea griega de la circularidad de la órbita planetaria.
2.3 El problema de los proyectiles
El problema de los proyectiles tenía ya un amplio tratamiento cuando Galileo se ocupó de él. Aunque es notable el avance que encontramos en Galileo, algunas de sus ideas habían sido ya seminalmente adelantadas por autores como Juan Buridán, Nicolás de Oresme, Niccoló Fontana ‘Tartaglia’ y Simon Stevin. Nos referimos, al principio de inercia y a la explicación de la caída de los cuerpos. Con Galileo, sin embargo, estas ideas adquieren una rigurosa formulación matemática.
Ello, pues, da a entender que el aristotelismo como paradigma científico-filosófico dominante empieza a ser minado, mucho antes de que entrara en escena Galileo.
En efecto, Juan Buridán, inspirándose en las ideas de Juan de Filopón -pensador del siglo VI que ya había rechazado la existencia de una física celeste en contraposición a una física terrestre (las física del mundo supra lunar y del mundo sublunar de Aristóteles), había mostrado su oposición al éter y sostenido la naturaleza ígnea de los planetas- desarrolla la teoría del ímpetus para explicar el movimiento de los proyectiles. De acuerdo con la teoría, no es preciso que exista un motor que continuamente esté moviendo el proyectil, sino que basta con que se le confiera un impulso o ímpetu que lo mantiene en movimiento indefinidamente. En la práctica se sabe que el proyectil cae como consecuencia de la resistencia del aire y la gravedad.
En esa misma línea argumenta Nicolás de Oresme, quien introdujo un método para representar gráficamente las velocidades con el que representó el movimiento uniformemente acelerado, siendo la carencia de un instrumental matemático adecuado la causa fundamental de que sus progresos en este ámbito resultaran relativamente limitados. Igualmente, objetó los argumentos expuestos contra la movilidad de la Tierra, basándose en el principio de reducción metodológica o navaja de Ochkam.
En la misma línea de la teoría del ímpetus estuvieron Leonardo y Tartaglia. Para Leonardo, en la trayectoria de un proyectil había tres partes: (i) Un movimiento rectilíneo bajo la acción del ímpetus; (ii) Una porción curva en la que se mezclaba la gravedad y el ímpetus; (iii) Una caída vertical bajo la fuerza de la gravedad. Para Tartaglia, en cambio, el ímpetus de proyección y la gravedad actuaban conjuntamente sobre el proyectil a lo largo de su trayectoria, razón por la cual la trayectoria del proyectil era una curva en todo su recorrido.
Stevin en cambio, se adelantó a Galileo en relación a la caída de los cuerpos: realizó un experimento en el que refutaba la opinión aristotélica de que los cuerpos pesados caen más rápidos que los ligeros.
Lo anterior, por supuesto, no implica que la figura de Galileo sea menor de lo que se dice. Pues hay un elemento distintivo en él con respecto a los demás: la formulación matemática precisa que logra realizar en sus investigaciones.
Efectivamente, con Galileo, el asunto se aclara notablemente. La curva de la que hablara Tartaglia es exactamente una parábola. El problema se puede entender como resultado de la composición de dos movimientos:
Ø Uniforme a lo largo del eje X(ox = 0)
Ø Uniformemente acelerado (g = -9.8) a lo largo del eje vertical Y.
Si se elimina el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, se obtiene la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y = ax2 + bx + c, lo que representa una parábola. En virtud de lo anterior, un objeto lanzado al aire se puede estudiar como la combinación de un movimiento uniforme rectilíneo horizontal a la altura de la salida y otro vertical uniformemente acelerado. Este principio también se denomina Principio de independencia de movimientos o Principio de superposición. De acuerdo con Galileo, “dado que la ecuación de esa trayectoria se debía a la composición de dos movimientos, cualquier movimiento complejo se puede estudiar por el principio de superposición de movimientos”.
Nótese el poder de generalización al que ha llegado Galileo al determinar una simple fórmula matemática. Se trata, pues, de un avance explicativo notable que no se puede comparar a las anteriores formulaciones explicativas.
2.4 La cuestión metodológica
Aunque habitualmente se dice que Galileo es el padre del método científico, se trata de una afirmación muy polémica. En realidad el método científico es el producto de una serie de contribuciones realizadas por diversos actores en contextos diversos. A manera de ilustración.
Desde Aristóteles estaba claro que la observación era la fuente primaria del conocimiento. Lo que la ciencia moderna muestra, y Galileo hizo importantes contribuciones en ese sentido, es que la observación per se es insuficiente. Ahora con Galileo se exige que el problema a investigar esté sometido a condiciones de las cuales podamos tener control sobre el comportamiento de las variables a explicar como parte de aquél. Hay, pues, un freno a la especulación. Aunque ésta no desaparece del todo. Einstein después diría contra Mach que no valoró lo suficiente la dimensión especulativa del pensamiento.
Ya Roger Bacon, a quien se le atribuye la expresión “ciencia experimental”, había dado un lugar importante a la deducción en el conocimiento. Recordemos que incluso para Aristóteles la deducción proporciona el modelo de conocimiento ideal, el cual es universal y necesario. Bacon, agrega que ese conocimiento per se es insuficiente, y que las demostraciones que alcancemos por medios deductivos no pueden contradecir la experiencia y deben ser corroboradas por ella.
Hay, pues, en Bacon las condiciones que luego Galileo expondrá como nadie hasta ese momento. El conocimiento es producto de una doble dimensión: deducción y experiencia. Mediante ésta última validamos algo que sólo aquella provee: la capacidad predictiva de la teoría científica.
No se puede pasar por alto los planteamientos de Kepler, quien había señalado que en lo que a la Astronomía respecta, había cinco partes: (i) La observación de los cielos; (ii) Las hipótesis para explicar los movimientos aparentes observados; (iii) La física o metafísica de la cosmología; (iv) El cómputo de las posiciones pasadas o futuras de los cuerpos celestes; (v) Una parte de la mecánica que versa de la fabricación y uso de los instrumentos.
De esos aspectos, al menos tres son claramente identificables en el proceder de Galileo, (i), (ii) y la (v); además, por supuesto, del rol que ejerce la deducción. Sobre esto hay una discusión con respecto a la naturaleza del método galileano: hay quienes apuntan a que éste no era tan experimental como se piensa, y que la matemática y la deducción lógica eran fundamentales, de manera tal que la experiencia devenía en una exigencia complementaria o secundaria.
En cualquier caso, el hecho cierto es que en tiempos de Galileo hay un esfuerzo orientado a la experimentación que es muy notable, tal como se palpa en las investigaciones de Robert Norman y William Hilbert sobre el magnetismo.
¿Cuál es la importancia de Galileo desde el punto de vista metodológico? Ciertamente, con Galileo encontramos que los diversos elementos que se han apuntado en líneas anteriores convergen en una unidad. Ya no se trata de ideas dispersas o desarticulas, ahora se han integrado a un plan investigativo homogéneo. De allí que podamos sintetizar las contribuciones de Galileo en los siguientes términos:
1. “Si reducimos un fenómeno observable a una ecuación, podemos comprender el fenómeno de una sola ojeada y manipulando las leyes matemáticas podemos abrir caminos para el descubrimiento de nuevas verdades referentes a esos fenómenos (nuevas relaciones entre las variables)”. Utilizando las matemáticas para razonar tenemos un lenguaje mucho más poderoso que el de los silogismos verbales que utilizan solo el “más que..o menos que..” empleados hasta entonces. Herramienta básica del método científico.
2. Ponen de manifiesto la potencia y la necesidad de un sistema matemático desarrollado en el que se apoyan los físicos para establecer relaciones ocultas entre las variables que definen el fenómeno físico.
3. Muestran que el físico trata los problemas aplicando los métodos de otras ramas de la ciencia para ayudarse en su resolución.
Paradójicamente Galileo no fue siempre consistente metodológicamente. Mientras los factores experiencia y matemáticas fueron determinantes en su obra sobre mecánica, en astronomía su trabajo fue más bien cualitativo, teniendo como bases las observaciones hechas a través del telescopio. Aunque, sin lugar a dudas, estas observaciones pusieron en jaque algunas ideas astronómicas vigentes para las que la única justificación hasta entonces era la opinión de Aristóteles o lo que decían las Sagradas Escrituras.
2.4 Importancia de la matemática
Los pitagóricos habían señalado que la esencia de todas las cosas radica en lo números, y Platón había expuesto en el Timeo, una visión cosmológica en la cual el Demiurgo crea el cosmos atendiendo a criterios matemáticos. El acceso a las fuentes griegas que implicó el Renacimiento puso de manifiesto los vestigios de la mística hermética o neoplatónica referente al sol, el gran tema neoplatónico del Dios que hace geometría y el crear el mundo imprimiéndole un orden matemático y geométrico. Estas ideas influirían decididamente en autores como Leonardo, Copérnico, Kepler y el propio Galileo, aunque en este último –al igual que Descartes- la matemática es vista desde una perspectiva práctica. Ciertamente, el universo está matemáticamente codificado, pero ésta ha de decodificarse para propósitos eminentemente explicativos, esto es para determinar cuáles son las leyes básicas que rigen los fenómenos y explicar, así, problemas concretos: el movimiento, la caída de los cuerpos, etc., y no como forma de tener acceso a un conocimiento privilegiado que poco o nada tenía que ver con la situación humana concreta. Se trata de una situación cualitativa importante con respecto a la visión de la matemática del mundo antiguo, una situación que Descartes recoge de manera muy elocuente al escribir “Cuando recapacitaba cómo era que los primeros filósofos de épocas pretéritas se negaban a admitir al estudio de la sabiduría a quien no supiese matemáticas…, vi confirmadas mis sospechas de que tenían conocimiento de un tipo de matemática muy distinto del que es usual en nuestro tiempo.”
Antes de Galileo hay toda una exposición acerca de la importancia explicativa de la matemática, al punto de que una explicación es genuinamente científica en la medida en que tenga un fundamento matemático. Recordemos que antes Roger Bacon había estipulado la centralidad del razonamiento matemático en la ciencia experimental. En esa misma línea, Leonardo había señalado que “No hay certeza en la ciencia si no se puede aplicar una de las ciencias matemáticas”; mientras que Tartaglia señalaba que las matemáticas se ocupaban exclusivamente del método de la ciencia.
Pero esa tendencia a considerar la matemática desde una perspectiva explicativa no es homogénea, los enfoques místicos propios del neoplatonismo y las concepciones especulativas de los griegos se mantuvieron en autores como Copérnico y Kepler. El primero asumió que los planetas describían órbitas circulares, y el segundo renunció a esa idea después de una búsqueda infructuosa.
Galileo es quien, tal vez, más comprometido está con la idea de matematización. Ahora, la estrategia metodológica no está libre de problemas y Galileo era consciente de ello. Se trata de una cuestión que ha ocupado históricamente a filósofos de la matemática y que tiene que ver con la relación entre los modelos matemáticos y la realidad física o fenoménica. Específicamente el problema que trataba Galileo tenía que ver con el grado en que los objetos físicos corresponden a figuras geométricas. En el Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo…, Simplico, el interlocutor aristotélico, señala que las esferas geométricas tocan a un plano en un punto, mientras que las esferas físicas tocan a un plano en varios puntos, de hecho en toda un área, de manera que parecía haber una falta de correspondencia entre la matemática y la naturaleza. Salviati, la contraparte que endosa las ideas galileanas, responde que si bien es así, cabe la posibilidad de imaginar una esfera geométrica imperfecta que tocase el plano en diversos puntos. De esta manera, las matemáticas se podrían ajustar a los objetos físicos, pudiendo utilizarse para interpretar la naturaleza, estimulándose la correspondencia mediante “experimentos bien elegidos”. No se trata, entonces, de un problema de las matemáticas, sino del científico: “el error –dice Galileo- no reside ni en lo abstracto, ni en la geometría ni en la física, sino en el calculador que no sabe cómo ajustar sus cuentas”.
La reflexión galileana tiene una consecuencia que es epistemológicamente significativa. En la práctica no hay razones para pensar que el calculador ajuste sus cuentas. Hay siempre un margen de error. Significa, entonces, que todo conocimiento de la realidad física es aproximativo y que su validez y alcance está determinado, justamente, por cuán ajustadas estén las cuentas. Quiere decir, entonces, que el conocimiento científico es autocorregible. Esto supone un giro radical con respecto a la filosofía especulativa que nos habla de totalidades, de absolutos y de realidades últimas: el pensamiento científico es más modesto en sus aspiraciones.
3. El legado galileano
Cuando se habla del legado galileano es habitual hacer referencia a hechos como los siguientes: construyó el primer termómetro, construyó el telescopio mediante el cual descubrió nuevos cuerpos celestes y pudo describir la fisonomía de otros, etc. Con sus obras contribuyó a desarrollar la dinámica, la estática y la hidrostática.
Nos parece, sin embargo, que el legado galileano es mucho más rico si se le enfoca desde una perspectiva paradigmática, pues ello nos permitirá valorar su obra desde el punto de vista del sentido que tiene esa obra en la actualidad. Desde esta perspectiva, el legado galileano se podría expresar como sigue:
Ø El conocimiento científico acota los problemas que aborda. Hay, pues, una renuncia a la antigua pretensión de construir esquemas completos y racionalizados del saber humano.
Ø El conocimiento se entiende desde una perspectiva racional, crítica y autocorregible. Ya no se deducen los hechos de una síntesis autoritaria y especulativa ni se los fuerza a conformarse con ella.
Ø La ciencia parte de lo que hay, de los hechos, o estados de cosas que envuelven una situación problemática. Pero estos hechos se obtienen por observación o experimentación y se los acepta como son, con todas sus consecuencias inmediatas e inevitables, sin ceder al deseo humano de encajar de golpe a toda la naturaleza humana en un encasillado racional. Y de ser necesario, hay que crear los instrumentos adecuados para llevar a cabo la observación o el experimento.
Ø Las relaciones entre hechos o estados de cosas se pueden traducir al lenguaje matemático. La matemática es esencial a la explicación científica.
Aunque la ciencia del siglo XX mostró algunas limitaciones explicativas en la tradición que comparten Galileo y Newton, el hecho cierto es que en lo esencial, la ciencia se ha mantenido fiel a las condiciones inauguradas por éstos. Y aunque desde las trincheras posmodernas se pretenda validar la idea de la horizontalidad de los discursos, el hecho cierto es que hasta ahora no hay sustituto explicativo para la ciencia, y la matemática es esencial en esa tarea. Hoy, nos parece, el eslogan “sin matemáticas, no hay ciencia” tiene tanta validez como lo tuvo en tiempos de Galileo.
Lo anterior no implica que la matemática haya de verse solamente desde el punto de vista de sus servicios a la ciencia, de ser el lenguaje de la ciencia. Es necesario puntualizar el carácter comprensivo que la matemática entraña, así como su carácter estético.
4. Referencias:
Aranu, H. (et al) (1982): Antología y comentarios de textos de Filosofía, Alambra.
Dampier, W. C. (1972): Historia de la Ciencia, Tecnos, Madrid.
Hull, L. W. (1980): Historia y Filosofía de la Ciencia, Ariel.
Norwood, Hanson (1971): Observation and Explanation.
Mason, S. (1985): Historia de las Ciencias (tomo 2.): La Revolución Científica de los siglos XVI y XVII, Alianza Editorial, Madrid.
* Conferencia dictada durante la Semana de la Matemática, Departamento de Matemáticas, Universidad de Panamá, 21 de octubre de 2009.
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